Goldbachs Vermutung

Summe von Primzahlen

Im Jahr 1742 teilte der Mathematiker Christian Goldbach seinem Kollegen Leonhard Euler eine interessante Beobachtung mit:

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, 
lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen.

Hier der Brief, in dem die Beobachtung formuliert sein soll:

Brief von Goldbach an Euler[1]

Viele Mathematiker haben seither versucht, Goldbachs Vermutung zu beweisen. Gelungen ist es bisher keinem.

Wir werden hier eine Funktion zur Überprüfung der Vermutung für einzelne Zahlen entwickeln.

Entwicklung einer Anzahlfunktion

Ziel ist es, eine Funktion zu entwickeln, mit der man die Anzahl der Zerlegungen einer geraden Zahl als Summe von zwei Primzahlen ermitteln kann.

<Black-Box-Diagramm><Funktionsname>anzahlZerlegungen</Funktionsname><Übergaben><Übergabe><Wert>10</Wert><Variable>n</Variable><Typ>int</Typ></Übergabe></Übergaben><Rückgabe><Typ>int</Typ><Wert>2</Wert></Rückgabe></Black-Box-Diagramm>

Die Zahl 10 lässt sich als Summe 3+7 und 5+5 darstellen. Es gibt also 2 Zerlegungen als Summe von zwei Primzahlen.

Aufgabe 1

(a) Benutze die Funktion istPrimzahl als Baustein, um eine Funktionsdefinition für die Funktion anzahlzerlegungen zu entwickeln.

from primzahltest import istPrimzahl

def anzahlZerlegungen(n):

    """
    Verhalten:
    Übergabe: gerade natürliche Zahl n größer als 2
    Rückgabe: Anzahl der Kombinationen, 
              n als Summe von 2 Primzahlen darzustellen
    Testfälle:
    >>> anzahlZerlegungen(6)
    1
    >>> anzahlZerlegungen(10)
    2
    >>> anzahlZerlegungen(100)
    6
    """

    ...

if __name__ == "__main__":
    from doctest import testmod
    testmod(verbose=True)

(b) Bestimme mit der entwickelten Funktion weitere Anzahlen und beobachte, wie diese Anzahlen mit wachsendem n ebenfalls wachsen. Vergleiche auch mit den Ergebnissen in der folgenden Abbildung.

Anzahl der Goldbach-Zerlegungen[2]

(c) Was müsste die Funktion anzahlZerlegungen als Ergebnis liefern, wenn Goldbachs Vermutung nicht stimmen würde?

Quellen

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