Künstliches Neuron zu gegebener Trennlinie bestimmen
Von der Trennlinie zum künstlichen Neuron
Trennlinien (oder auch „Separationsgeraden“) mit ihren zugehörigen Ungleichungen sind äquivalent zu dem Verhalten eines künstlichen Neurons mit zwei Eingängen.
Rechts siehst du vier Punkte. Das Neuron soll in den beiden grünen Punkten „feuern“ und in den anderen beiden nicht (du hast es gemerkt: Die Eingänge eines Neurons müssen nicht nur 0 oder 1 sein...).
Eine mögliche Gerade, die die beiden Arten von Punkten voneinander trennt, ist bereits eingezeichnet.
Man sagt dazu: Die Punkte werden linear getrennt (oder linear separiert).
Aufgabe 1: Trennlinie bestimmen
Nutze dein Mathewissen aus der Mittelstufe und bestimme die Gleichung der Trennlinie in der Form $y=m * x + c$
Lösung:
Aufgabe 2: Mathematische Ungleichung bestimmen
Wir wollen nun die sogenannte Halbebene beschreiben, in der alle Punkte liegen, bei denen das Neuron „feuern“ soll. Die beiden grünen Punkte liegen in dieser Halbebene. Die y-Koordinaten sind größer als die Punkte auf der Geraden (mit der gleichen x-Koordinate). Wie lautet also die Ungleichung, die alle Punkte erfüllen, die oberhalb der Geraden liegen?
Lösung:
Aufgabe 3: Neuronen-Ungleichung bestimmen
Wie du weißt, heißen die Eingänge unseres Neurons nicht x und y sondern x1 und x2. Entsprechend sind auch bereits in den Diagrammen die Koordinatenachsen beschriftet. Ersetze also in deiner Ungleichung aus der letzten Aufgabe schon einmal das x durch x1 und das y durch x2.
Wie du ebenfalls weißt, „feuert“ das Neuron, wenn die folgende Ungleichung erfüllt ist: $w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 > s$ (hier stehen die Gewichte mal vor den jeweiligen Eingangswerten...).
Bringe deine Ungleichung in die gleiche Form, so dass x1 und x2 auf der linken Seite stehen.
Lösung:
Wenn du gerade ein Häkchen erhalten hast, kannst du die Werte für „x1“ und „x2“ sowie „s“ ablesen:
x1 =
x2 =
s =
Aufgabe 4: Kontrolle
Wenn du in der letzten Aufgaben alle Häkchen erhalten hast, dann sollte es dir leicht fallen direkt die Gewichte und den Schwellenwert richtig einzustellen, damit es sich wie gewünscht verhält:
Aufgabe 5: Für Experten: Einmal umgekehrt bitte!
Wir ändern die Situation komplett und suchen ein Neuron, dass bei den roten Punkten „feuert“ und bei den grünen Punkten nicht. Dazu muss aber weiterhin eine Ungleichung in dieser Form erfüllt sein: $w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 > s$ (wir benötigen weiterhin ein „>“ - Zeichen!)
Wende dein Mathe-Wissen an, was Ungleichung-Umformen angeht...
Lösung:
(schreibe „x1“ bzw. „x2“ - ein Häkchen gibt's nur ohne Leerzeichen)
Hast du ein Häkchen erhalten, lies wieder die Werte für „x1“ und „x2“ sowie „s“ ab und kontrolliere dann, ob sich das Neuron wie gewünscht verhält:
x1 =
x2 =
s =
