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Erkundung: Rechengesetze für Schaltterme

Termumformungen in der Mathematik

Aus der Mathematik kennst du Rechengesetze, mit denen mathematische Terme vereinfacht werden können.
Bsp.:
Beispiel für Termumformungen im Mathematik

Schaltterme können ebenfalls mit Hilfe von Rechengesetzen vereinfacht werden. Es gelten jedoch andere Rechengesetze als für mathematische Terme.

Rangfolge der Operatoren

In der Mathematik gilt: Klammern vor Punkt vor Strich. Eine ähnliche Rangfolge der Operatoren gibt es auch für Schaltterme:

Rangfolge der Operatoren für Schaltterme: Klammern vor not ( $\bar{}$ ) vor and ( $\land$ ) vor or ( $\lor$ )

Aufgabe 1

Schreibe folgende Schaltterme mit möglichst wenig Klammern.
Achtung: Nicht in jedem Schaltterm können Klammern weggelassen werden.

$(g \land i) \lor h$
$(g \lor i) \land h$
$g \lor (i \land h)$
$((\overset{―}{g \lor i}) \land h)$

Rechengesetze für Schaltterme

Assoziativgesetze

$a \land b \land c = (a \land b) \land c = a \land (b \land c)$

$a \lor b \lor c = (a \lor b) \lor c = a \lor (b \lor c)$

Im folgenden Beispiel stehen $a$ , $b$ und $c$ für Schaltterme:
$(\underset{a}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land \bar{k})}} \lor \underset{b}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land k)}}) \lor \underset{c}{\underset{⏟}{(f \land \bar{k})}} = \underset{a}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land \bar{k})}} \lor (\underset{b}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land k)}} \lor \underset{c}{\underset{⏟}{(f \land \bar{k})}})$
Aufgrund der Rangfolge der Operatoren kann man alle Klammern auch weglassen:
$(\underset{a}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land \bar{k})}} \lor \underset{b}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land k)}}) \lor \underset{c}{\underset{⏟}{(f \land \bar{k})}} = \underset{a}{\underset{⏟}{\bar{f} \land \bar{k}}} \lor \underset{b}{\underset{⏟}{\bar{f} \land k}} \lor \underset{c}{\underset{⏟}{f \land \bar{k}}}$

Kommutativgesetze

$a \land b = b \land a$

$a \lor b = b \lor a$

1. Bsp.: $\underset{a}{\underset{⏟}{f}} \land \underset{b}{\underset{⏟}{\bar{k}}} = \underset{b}{\underset{⏟}{\bar{k}}} \land \underset{a}{\underset{⏟}{f}}$ 2. Bsp.: $(\bar{f} \land \bar{k}) \lor \underset{a}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land k)}} \lor \underset{b}{\underset{⏟}{(f \land \bar{k})}} = (\bar{f} \land \bar{k}) \lor \underset{b}{\underset{⏟}{(f \land \bar{k})}} \lor \underset{a}{\underset{⏟}{(\bar{f} \land k)}}$

Aufgabe 2

In den folgenden Umformungen wurde jeweils nur ein Gesetz verwendet. Gib für jede Umformung das Gesetz sowie

a

b

und (falls nötig)

c

an.

$(\bar{f} \land \bar{k}) \lor (\bar{f} \land k) \lor (f \land \bar{k}) = (\bar{f} \land k) \lor (\bar{f} \land \bar{k}) \lor (f \land \bar{k})$
$(\bar{s} \land \bar{n}) \land \bar{g} = \bar{s} \land (\bar{n} \land \bar{g})$
$s \land \bar{n} \land \bar{g} = \bar{n} \land \bar{g} \land s$

Distributivgesetze

1. $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$

2. $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$

1. Bsp.: (1. Distributivgesetz, von links nach rechts)
$\underset{a}{\underset{⏟}{\bar{f}}} \land (\underset{b}{\underset{⏟}{\bar{k}}} \lor \underset{c}{\underset{⏟}{k}}) = (\underset{a}{\underset{⏟}{\bar{f}}} \land \underset{b}{\underset{⏟}{\bar{k}}}) \lor (\underset{a}{\underset{⏟}{\bar{f}}} \land \underset{c}{\underset{⏟}{k}})$
gleiches Beispiel, verdeutlicht mit Pfeilen:
Beispiel für das Distributivgesetz 2. Bsp.: (1. Distributivgesetz, von rechts nach links)
$(\underset{a}{\underset{⏟}{\bar{n} \land \bar{g}}} \land \underset{b}{\underset{⏟}{\bar{s}}}) \lor (\underset{a}{\underset{⏟}{\bar{n} \land \bar{g}}} \land \underset{c}{\underset{⏟}{s}}) = \underset{a}{\underset{⏟}{\bar{n} \land \bar{g}}} \land (\underset{b}{\underset{⏟}{\bar{s}}} \lor \underset{c}{\underset{⏟}{s}})$
gleiches Beispiel, verdeutlicht mit Pfeilen:
Beispiel für das Distributivgesetz

Aufgabe 3

Klammere mit dem 1. Distributivgesetz einen möglichst großen Term aus:

$(\bar{k} \land \bar{f}) \lor (\bar{k} \land f)$
$(s \land \bar{g} \land \bar{n}) \lor (s \land \bar{g} \land n)$

Komplementgesetze

$a \land \bar{a} = 0$

$a \lor \bar{a} = 1$

$\overset{―}{\bar{a}} = a$

Aufgabe 4

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die Komplementgesetze:

$a$	$\bar{a}$	$a \land \bar{a}$	$a \lor \bar{a}$	$\overset{―}{\bar{a}}$
0
1

Idempotenzgesetze

$a \land a = a$

$a \lor a = a$

Aufgabe 5

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die Idempotenzgesetze:

$a$	$a \land a$	$a \lor a$
0
1

Gesetze der neutralen Elemente

$a \land 1 = a$

$a \lor 0 = a$

Aufgabe 6

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die Gesetze der neutralen Elemente:

$a$	$a \land 1$	$a \lor 0$
0
1

0-1-Gesetze

$a \land 0 = 0$

$a \lor 1 = 1$

Aufgabe 7

Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus und begründe damit die 0-1-Gesetze:

$a$	$a \land 0$	$a \lor 1$
0
1