Geheimnisteilen – Lösungen

Einführung – Lösungen

1. Ist die Schokolade denn überhaupt vor fremdem Zugriff sicher?
   • An jeder der vier Positionen des Zahlenschlosses können zehn verschiedenen Zahlen eingestellt werden. Und da diese vier Einstellungen voneinander unabhängig sind gibt es insgesamt 10*10*10*10, also 10000 mögliche Einstellungen.
   • Ein Glückspilz würde sofort die korrekte Zahlenkombination einstellen, also müsste dieser nur eine Einstellung vornehmen. Ein Pechvogel hingegen müsste alle Zahlenkombinationen einstellen und erst bei der letzten, also der zehntausendsten Einstellung, würde er die korrekte vorfinden.
2. Die eine der vier Freundinnen muss zum Öffnung des Schlosses noch die drei verbleibende Ziffern, neben der ihm bekannten, herausfinden. Da sie, wie oben festgelegt ein Pechvogel ist, befindet sie sich in der Situation, dass sie ein Zahlenschluss mit drei Positionen und jeweils zehn Ziffernmöglichkeiten knacken muss.
3. Jeder der vier Freundinnen kennt eine Ziffer der Zahlenkombination, somit können die beiden Freundinnen direkt an zwei Positionen des Zahlenschlosses die korrekte Zahl einstellen. Es verbleibt ihnen also nun, die korrekten Zahlen an den beiden verblieben den Positionen einzustellen. Da es an jeder Position zehn mögliche Einstellungen gibt, müssen die beiden noch 10*10, also einhundert Einstellungen ausprobieren bis die das Schloss öffnen können.
4. Analog zur obigen Betrachtung müssen drei Freundinnen lediglich nur noch zehn Einstellungen an der verbleibenden Position des Zahlenschlosses durchprobieren.
5. Um ein Gefühl für die Sicherheit des Zahlenschlosses zu bekommen wird ein dafür sinnvolles Maß benötigt. In diesem Fall bietet sich eine Zeitmessung an, denn sollte einer oder mehrere der vier Freundinnen im Baumhaus von einem Heißhungeranfall erwischt werden, so legt sich ein solcher erfahrungsgemäß wieder nach einer gewissen Dauer, etwa nach zwanzig bis dreißig Minuten. Somit stellen sich, wie von selbst, die folgenden Fragen:
   • Als Zeitansatz zur Einstellung von einer Ziffernkombination seien zehn Sekunden gewählt. Für den Wechsel von der Einstellung 0000 auf 0001 ist dies natürlich recht hoch gegriffen, für den Wechsel von der Einstellung 1234 auf die Einstellung 5678 kommt man jedoch möglicherweise über zehn Sekunden, so dass die Wahl der zehn Sekunden als Mittelwert verwendbar ist. Außerdem ist es unwahrscheinlich, dass eine Person zehntausend Kombinationen in einem Durchgang durchprobiert. Abschließend sei betont, dass die Wahl willkürlich ist. An dieser Stelle muss also jede sich selbst einen Maßstab zurechtlegen.
   • Nach obiger Vorbemerkung werden 100 Sekunden benötigt, also knapp zwei Minuten.
   • Nach obiger Vorbemerkung werden 1000 Sekunden benötigt, also knapp 17 Minuten.
   • Nach obiger Vorbemerkung werden 10000 Sekunden benötigt, also knapp 167 Minuten.
   • Nach obiger Vorbemerkung werden 100000 Sekunden benötigt, also knapp 1667 Minuten.

Grundlagen – Lösungen

1. Es sind zwar die vier Zahlen der Zahlenkombination bekannt, jedoch ist die Zuordnung, also welche Zahl an welche Position gehört, unbekannt.
2. Insgesamt müssen 24 Einstellungen ausprobiert werden, denn es handelt sich um ein kombinatorisches Problem mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung.

Geometrische Variante – Lösungen

Theorie

1. Das Geheimnis G = 8 lässt sich als Punkt der Geradem als ( 0,8) schreiben.
   Bestimmung der Steigung der Gerade:
   a₁ = $\frac{\text{8 - 4}}{{\text{2 - 1}}_{}}$ =-4.
   Bestimmung des y-Achsenabschnitts:
   f(0) = a * ( 0 - 1 ) + 8 = 12.


2. Konstruiere selbst als Geheimnishüterin zum Geheimnis G = 8 zwei Teilgeheimnisse mit der geometrischen Methode.
   Wähle eine beliebige Steigung, sei diese a = 2.
   Stelle die Geradengleichung auf:
   f(x) = 8 + 2 * x.
   Wähle nun zwei x-Werte, um zwei Stützstellen zu berechnen, seien diese x₁ = 2 und x₁ = 4.
   Berechne die Stützpunkte, also die Teilgeheimnisse:
   G₁ = ( 2,12 ) und x₂ = ( 4,16 ).
3. • G₁ = ( 3, -6) und G₂ = ( 1,2 ).
     
   • Siehe oben.

Implementierung und Ausblick

1. Siehe obige Geradenkonstruktion.


2. Die Eingabe ist nicht eindeutig sein, wenn die Implementierung allgemein gehalten ist, denn je zwei verschiedene Punkte der Geraden bestimmen den y-Achsenabschnitt eindeutig.


3. Eine Verallgemeinerung ist möglich und basiert auf der Tatsache, dass jede Kurve, die algebraisch durch ein Polynom vom Grad n bestimmt ist, durch n+1 verschiedene auf ihr liegende Punkte eindeutig bestimmt ist. Somit kann ein Geheimnis auf die obige Art auf vier Personen verteilt werden, wenn ein Polynom vom Grad drei, ein sogenanntes kubisches Polynom, zur Grundlage gelegt wird. Die Berechnungen werden entsprechend komplizierter, weil alle vier verschiedenen Stützpunkte, also alle vier Teilgeheimnisse, zur Berechnung des Geheimnisses im allgemeinen notwendig sind. Die Formel von Lagrange kann zu Berechnung herangezogen werden.

Modulare Variante – Lösungen

Modulare Addition

1. Führe in dem Zahlenbereich [0,...,999] die folgenden modularen Additionen aus:
   • 850
   • 655
   • 666
   • 665
   • 664
   • 0
   • 800
   • 588

Modulare Variante des Geheimnisteilens

1. Nun können beispielsweise die drei Teilgeheimnisse 500, 700 und 600 sein, denn die modulare Addition modulo 1000 dieser drei Zahlen ist 800. Mit Bezug auf die gewöhnliche Addition sieht man dies ein, indem zunächst gewöhnlich addiert wird, also 500 + 600 + 700 = 1800 und anschließend der Rest der Division von 1800 durch 1000 als Ergebnis genommen wird.
2. Nein, weil die Summe der beiden bekannten Teilgeheimnisse durch die modulare Addition mit einer weiteren Zahl aus [0...999] in jede Zahl aus [0...999] überführt werden kann.
3. Siehe modulare Addition.