Addition von Punkten auf elliptischen Kurven
Definition: Addition von Punkten auf elliptischen Kurven
Zwei Punkte $P$ und $Q$ auf einer elliptischen Kurve werden addiert, indem sie zunächst durch eine Gerade verbunden werden. Diese Gerade schneidet die Kurve in genau einem dritten Punkt. Durch Spiegelung dieses Schnittpunktes an der x-Achse erhält man schließlich die Summe $R = P + Q$.
Für den Fall, dass die Gerade vertikal ist, wird der Punkt $R = O := (\infty|\infty)$ als der virtuelle Punkt im Unendlichen definiert.
Aufgabe 1
- Bestimme den Punkt $R = P + Q$.
- Bestimme den Punkt $R = Q + P$.
- Bestimme den Punkt $-P$.
Lösung
- $R=(-0,55556|-3,7037)$
- $R=(-0,55556|-3,7037)$. Das Ergebnis ist das gleiche wie in a, da die Addition per definitionem kommutativ ist.
- $-P=(2|-2)$, da dann $P-P=O$ gilt. Man erhält also $-P$ durch Spiegelung von $P$ an der x-Achse.
Aufgabe 2
- Bestimme den Punkt $R = (A + B) + C$.
- Bestimme den Punkt $R = (A + C) + B$.
- Bestimme den Punkt $R = A + (B + C)$.
Lösung
- $A+B=(-3, 2), \quad (A+B)+C=(1|-2)$
- $A+C=(-3, -2) \quad (A+C)+B=(1|-2)$.
- $B+C=(-1, 4) \quad A+(B+C)=(1|-2)$.
Die Ergebnisse stimmen in allen drei Fällen überein, daher Vermutung: Die Addition ist assoziativ.
Bei näherer Untersuchung stellt sich heraus, dass die Addition auf elliptischen Kurven tatsächlich assoziativ ist. Der Beweis für diese Tatsache ist eine Folgerung aus dem Noether'schen Theorem der Zahlentheorie und in der Schule nicht zugänglich. Daher muss uns hier die empirischen Überprüfung anhand einiger exemplarischer Beispiele ausreichen.
Aufgabe 3
- Berechne mit der obigen Anwendung die Summe $2 \cdot P := P+P$.
- Wie lässt sich diese Summe interpretieren?
Lösung
- $2\cdot P:=P+P=(1|-4)$
- Die Summe $P+P$ erhält man, indem man die Tangente an die Kurve im Punkt $P$ bestimmt, dann den Schnittpunkt dieser Tangente mit der Kurve ermittelt und im letzten Schritt diesen Schnittpunkt an der x-Achse spiegelt.
Aufgabe 4
Zeige, dass in diesem Fall die Summe $ P + Q + R = O$ gleich Null ist.
Lösung
Die Gerade durch $P$ und $Q$ schneidet die Kurve in dem dritten Punkt $R$. Man erhält die Summe $P+Q$ durch Spiegelung von $R$ an der x-Achse, also $P+Q=-R$. Und damit also $(P+Q)+R=-R+R=O$.
Anmerkung: Mit der gleichen Argumentation erhält man sofort auch $P+(Q+R)=O$. Für den Spezialfall, dass alle drei Punkte auf einer Geraden liegen, sieht man also sofort, dass die Addition assoziativ ist.
