Gruppengesetze
Gruppengesetze
Die elliptischen Kurven bilden zusammen mit der Addition und dem virtuellen Punkt $O:=(\infty,\infty)$ eine sogenannte kommutative Gruppe. Das bedeutet, dass die Addition von Punkten auf einer elliptischen Kurve die folgenden Eigenschaften erfüllt:- Abgeschlossenheit: Für alle Punkte $P, Q$ auf der Kurve ist auch $P + Q$ auf der Kurve.
- Kommutativität: Für alle Punkte $P, Q$ auf der Kurve gilt: $P + Q = Q + P$.
- Assoziativität: Für alle Punkte $P, Q, R$ auf der Kurve gilt: $(P + Q) + R = P + (Q + R)$.
- Existenz eines neutralen Elements: Es gibt einen Punkt $O$, sodass für alle Punkte $P$ auf der Kurve gilt: $P + O = O + P = P$.
- Existenz von inversen Elementen: Für jeden Punkt $P$ auf der Kurve gibt es einen Punkt $Q$, sodass $P + Q = Q + P = O$.
Zusammenfassung / Takeaway
Zusammengefasst haben wir also auf den elliptischen Kurven eine algebraische Summe definiert, für die die "herkömmlichen" Rechenregeln gelten, die wir auch schon von den ganzen Zahlen kennen. Obwohl die Rechenregeln zunächst kompliziert aussehen, kann man sie sich daher dennoch recht einfach merken.
