Addition von Punkten auf elliptischen Kurven
Definition: Addition von Punkten auf elliptischen Kurven
Zwei Punkte $P$ und $Q$ auf einer elliptischen Kurve werden addiert, indem sie zunächst durch eine Gerade verbunden werden. Diese Gerade schneidet die Kurve in genau einem dritten Punkt. Durch Spiegelung dieses Schnittpunktes an der x-Achse erhält man schließlich die Summe $R = P + Q$.
Für den Fall, dass die Gerade vertikal ist, wird der Punkt $R = O := (\infty|\infty)$ als der virtuelle Punkt im Unendlichen definiert.
Aufgabe 1
Seien $P = (2, 2)$ und $Q = (-1, 4)$ zwei Punkte auf der elliptischen Kurve $y^2 = x^3 - 7x + 10$.
- Bestimme den Punkt $R = P + Q$.
- Bestimme den Punkt $R = Q + P$.
- Bestimme den Punkt $-P$.
Aufgabe 2
Seien $A = (2, 2)$, $B = (-1, 4)$ und $C=(2,2)$ Punkte auf der elliptischen Kurve $y^2 = x^3 - 7x + 10$.
- Bestimme den Punkt $R = (A + B) + C$.
- Bestimme den Punkt $R = (A + C) + B$.
- Bestimme den Punkt $R = A + (B + C)$.
Aufgabe 3
Sei $P=(1|2)$ ein Punkt auf der elliptischen Kurve $y^2 = x^3 - 7x + 10$.
- Berechne mit der obigen Anwendung die Summe $2 \cdot P := P+P$.
- Wie lässt sich diese Summe interpretieren?
Aufgabe 4
Seien $P, Q$ und $R$ drei Punkte auf der elliptischen Kurve $y^2 = x^3 - 7x + 10$, die auf einer Geraden liegen.
Zeige, dass in diesem Fall die Summe $ P + Q + R = O$ gleich Null ist.
Zeige, dass in diesem Fall die Summe $ P + Q + R = O$ gleich Null ist.
