Exkurs: Endliche Körper
Der bisheriger Schlüsseltausch funktioniert zwar theoretisch, aber die reellen Koordinaten der Punkte werden sehr groß und bei automatisierter Verarbeitung lassen sich Rundungsfehler nicht vermeiden. Deshalb werden in der Praxis elliptische Kurven über endlichen Körper statt über den reellen Zahlen betrachtet.
Genauer werden statt der elliptischen Kurven über den reellen Zahlen $$ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \quad | \quad y^2 = x^3 + ax + b \right\} $$ die elliptischen Kurven über dem endlichen Körper $\mathbb{F}_p$ betrachtet. Dabei ist $p$ eine Primzahl und $\mathbb{F}_p$ die Menge der Restklassen $\mathbb{Z}$ modulo $p$: $$ \left\{(x, y) \in \mathbb{F_p}^2 \quad | \quad y^2 \mod p = x^3 + ax + b \mod p \right\} $$
Die Addition von Punkten auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern funktioniert völlig analog zur Addition von Punkten auf elliptischen Kurven über den reellen Zahlen, nur dass nun die Koordinaten der Punkte relativ klein bleiben und es keine Rundungsfehler gibt.
Hier kannst du interaktiv die Addition von Punkten auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern ausprobieren:
Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman
Da die Addition von Punkten auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern analog zum unendlich dimensionalen Fall funktioniert, lässt sich insbesondere auch der Schlüsselaustausch nach dem Diffie-Hellman-Verfahren völlig analog formulieren.
Anmerkung
Die Tatsache, dass die Addition auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern tatsächlich analog zu der über unendlichen Körpern funktioniert, ist natürlich beweisbedürftig. Dabei wird es allerdings so technisch und mathematisch, dass dies in der Schule nicht mehr zugänglich ist. Wer dennoch tiefer in die zugrundeliegende Gruppentheorie aus der Mathematik einsteigen möchte, kann weitere Details beispielweise im online Kurs Elliptic Curve Cryptography: finite fields and discrete logarithms von Andera Corbellini nachlesen. Die dortige Darstellung geht allerdings weit über Schulmathematik hinaus.
