Beispiel - Ein Sprachenrätsel

Die ipigisi-Sprache

In Ipogesien hört man im Mathematikunterricht der 1. Klasse ständig Wörter der folgenden Art:

ipigisi, isipigisisi, ipisigisisi,
isisipigisisisi, isipisigisisisi,
ipisisigisisisi, ...

Nachdem Ipo das Wort isipisisigisisisisisi sagt, gibt es Proteste. Warum wohl?

Aufgabe 1

Wie sind die Wörter der ipigisi-Sprache aufgebaut? Tipp: Es handelt sich um Additionsaufgaben wie z.B. 1+1=2.

Aufgabe 2

Handelt es sich bei den oben aufgelisteten Wörtern wirklich um Additionsaufgaben? Lies dir den folgenden Text durch und erkläre in eigenen Worten, dass mit dem Konzept "formale Sprache" nur der syntaktische Aspekte einer Sprache erfasst wird.

Namen sind Schall und Rauch

Das Alphabet der ipigisi-Sprache besteht nur aus den Symbolen i, p, g und s:

Σ = {i, p, g, s}

Unter einer isi-Folge soll eine nichtleere Folge von i-Symbolen verstanden werden, bei der jeweils benachbarte i-Symbole durch ein s getrennt sind:

i, isi, isisi, ....

Eine ipigisi-Folge hat die Struktur isi-Folge p isi-Folge g isi-Folge. Beispiele für solche ipigisi-Folgen sind:

ipigi, ipigisi, isipigisi, isipisigisi, ...

Über dem Alphabet Σ = {i, p, g, s} werden jetzt zwei ipigisi-Sprachen festgelegt - die Sprache der beliebigen ipigisi-Ausdrücke und die Sprache der korrekten ipigisi-Ausdrücke.

Die Sprache der beliebigen ipigisi-Ausdrücke besteht aus allen Wörtern über dem Alphabet Σ = {i, p, g, s}, die eine ipigisi-Folge bilden.

Sprache der beliebigen ipigisi-Ausdrücke:
{ipigi, isipigi, ipisigi, ipigisi, isipisigi, ...}

Die Sprache der mathematisch korrekten ipigisi-Ausdrücke besteht aus allen Wörtern über dem Alphabet Σ = {i, p, g, s}, die eine ipigisi-Folge bilden und bei denen die Summe der i-Symbole vor und nach dem g-Symbol gleich sind.

Sprache der mathematisch korrekten ipigisi-Ausdrücke:
{ipigisi, isipigisisi, ipisigisisi, isisipigisisisi,
isipisigisisisi, ipisisigisisisi, ...}

Die Bedeutung der Wörter der ipigisi-Sprachen scheint auf der Hand zu liegen: Eine isi-Folge stellt eine natürliche Zahl dar, die Folge isisi steht z. B. für die Zahl 3. Das Symbol p steht für +, das Symbol g für =. Das Wort isisipigisisisi (der Sprache der korrekten ipigisi-Ausdrücke) hätte demnach die Bedeutung 3+1=4, das Wort isipisigisi (der Sprache der beliebigen ipigisi-Ausdrücke) die Bedeutung 2+2=2.

ipigisi         -> 1+1=2
isipigisisi     -> 2+1=3
ipisigisisi     -> 1+2=3
isisipigisisisi -> 3+1=4
isipisigisisisi -> 2+2=4
ipisisigisisisi -> 1+3=4
...

Aber Achtung, es sind auch andere Deutungen möglich: Eine isi-Folge könnte weiterhin eine natürliche Zahl darstellen. Das Symbol p könnte für ist gleich stehen, das Symbol g für subtrahiert von. Das Wort isisipigisisisi hätte dann die Bedeutung 3 ist gleich 1 subtrahiert von 4.

ipigisi         -> 1 ist gleich 1 subtrahiert von 2
isipigisisi     -> 2 ist gleich 1 subtrahiert von 3
ipisigisisi     -> 1 ist gleich 2 subtrahiert von 3
isisipigisisisi -> 3 ist gleich 1 subtrahiert von 4
isipisigisisisi -> 2 ist gleich 2 subtrahiert von 4
ipisisigisisisi -> 1 ist gleich 3 subtrahiert von 4
...

Noch eine Deutung: Eine isi-Folge steht für eine Zweierpotenz, z. B. isisi für 2³. Das Symbol p steht für *, das Symbol g für =. Das Wort isisipigisisisi hätte jetzt die Bedeutung 2³*2¹=2⁴.

Symbole und Symbolkombinationen werden oft so gewählt, dass sie eine bestimmte Bedeutung suggerieren. Das Beispiel zeigt aber, dass die Bedeutung den syntaktischen Einheiten nicht innewohnt, sondern unabhängig hiervon festgelegt werden muss. Hier gilt der Satz aus Goethes Faust: "Namen sind Schall und Rauch".