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Erkundung: disjunktive Normalform

Schritt 2: Aufstellen eines Schaltterms

Auf der Seite Problem: Ladestation für ein Elektroauto haben wir eine Schalttabelle für die Steuerung unserer Ladestation aufgestellt. Um ein Schaltnetz konstruieren zu können, müssen wir zunächst einen Schaltterm aufstellen, der die Schalttabelle berechnet. Das ist manchmal gar nicht so einfach. Wir lernen deshalb hier ein strukturiertes Verfahren kennen, wie man aus einer Schalttabelle einen Schaltterm erstellen kann. Dazu betrachten wir zunächst eine einfachere Schalttabelle:

Aufgabe 1

Diese Aufgabe bezieht sich auf die folgende Schalttabelle:
Variable a Variable b Ergebnis e $ a \wedge \bar b $
Aufgabe a)

Aufgabe b)
$ (\bar a \wedge \bar b) \vee (a ∧ \bar b) $
Aufgabe c)
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
  1. Ergänze die 4. Spalte in der Tabelle.
  2. Der Term $a \wedge \bar b $ (4. Spalte), beschreibt die dritte Zeile der Schalttabelle ($a=1$, $b=0$).
    Finde analog dazu einen Term, der die erste Zeile der Schalttabelle ($a=0$, $b=0$) beschreibt. Trage diesen Term in der 5. Spalte der Tabelle ein.

    Der Term $a \wedge \bar b $ (4. Spalte), ist nur für die Variablenbelegung $a=1$, $b=0$ wahr. Für alle anderen Variablenbelegungen ist er falsch.

    Du suchst einen also Term, der genau dann wahr ist, wenn $a$ nicht wahr ist und $b$ nicht wahr ist. In allen anderen Fällen soll der Term falsch sein.

  3. Der Term $ (\bar a \wedge \bar b) \vee (a ∧ \bar b) $ heißt disjunktive Normalform. Er steht in der 6. Spalte der Tabelle. Ergänze diese Spalte und vergleiche mit der Spalte „Ergebnis e“.
  4. Beschreibe, wie man die disjunktive Normalform zu einer Schalttabelle bildet.
  5. Begründe, dass die Terme $\bar a \wedge b$ und $a \wedge b$ nicht in der disjunktiven Normalform auftauchen.
Falls du bei den folgenden Aufgaben Probleme hast, kannst du dir zunächst das Fachkonzept - disjunktive Normalform durchlesen.

Aufgabe 2

Stelle die disjunktive Normalform der folgenden Schalttabelle auf:
x y Ergebnis
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Du suchst einen Term, der genau dann wahr ist, wenn

  • $x$ nicht wahr ist und $y$ wahr ist
oder
  • $x$ wahr ist und $y$ nicht wahr ist
oder
  • ...

Aufgabe 3

Stelle die disjunktive Normalform der Schalttabelle zu der Ladestation auf:
s n g L
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

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