inf-schule | Schaltnetze vereinfachen » Erkundung: Äquivalenz von Schalttermen und Schaltnetzen

Erkundung: Äquivalenz von Schalttermen und Schaltnetzen

Eine Lampe im Innenraum eines Autos soll leuchten, wenn die Fahrertür oder der Kofferraum geöffnet ist. Wir suchen ein kostengünstiges Schaltnetz, das die Lampe steuert.

Wir verwenden folgende Schaltvariablen:

f: Fahrertür geschlossen
k: Kofferraum geschossen
Y: Licht im Auto ist an

Schalttabelle:

f	k	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Aufgabe 1

Stelle die disjunktive Normalform auf.
Übersetze die disjunktive Normalform in ein Schaltnetz.
(im Simulator unter der Aufgabe)

Aufgabe 2

Übersetze folgenden Schaltterm in ein Schaltnetz: $ \bar f \vee \bar k $
(im Simulator unter der Aufgabe)
Stelle die Wahrheitstabelle auf:

f	k	Y
0	0
0	1
1	0
1	1

Vergleiche die Wahrheitstabelle aus (b) mit der Wahrheitstabelle der Beleuchtung im Innenraum eines Autos.
Zähle die Gatter in den beiden Schaltnetzen und vergleiche.

Äquivalenz

Eventuell kennst du aus dem Mathe-Unterricht den Begriff der Einsetzungsgleichheit von Termen. Das kann z.B. so lauten:

Zwei mathematische Terme heißen gleichwertig/äquivalent, wenn sie beim Einsetzen aller möglichen Zahlen für die Variablen denselben Wert ergeben.

Aufgabe 3: Einsetzungsgleichheit in der Mathematik

Beispielsweise die Terme $3\cdot x\cdot y + 6\cdot x$ und $3\cdot (x\cdot y + 2x)$ sind äquivalent.

Überprüfe die Einsetzungsgleichheit dieser beiden Terme, indem du einige Zahlen für $x$ und $y$ einsetzt. Kommt immer bei beiden Termen dasselbe Ergebnis raus?
A. hat zwei Terme gefunden: $x^3 - 6 x^2 + 11 x - 4$ und $x^4 - 10 x^3 + 35 x^2 - 50 x + 26$. A. meint: „Ich habe für $x$ die Zahlen $1$, $2$ und $3$ eingesetzt, da kam bei den beiden Termen immer dasselbe raus. Die Terme sind also gleichwertig.“ Rechne nach, indem du ebenfalls einsetzt.
Was sagst du zum Vorgehen von A.? Reicht das aus, um zu zeigen, dass die Terme gleichwertig sind? Falls nein: Kannst du zeigen, dass die Terme doch nicht gleichwertig sind? Was ist die Schwäche von A.'s Vorgehen?

Oben steht, dass „alle möglichen Zahlen“ eingesetzt werden können. Hat A. das getan?

Aufgabe 4: Einsetzungsgleichheit bei Schalttermen

Wir übertragen die Überlegungen zur Gleichheit von Termen auf Schaltterme:

Die Terme für die Innenraumbeleuchtung aus Aufgabe 1 und Aufgabe 2 sind äquivalent. Erkläre, woran man das erkennen kann. Inwieweit passt das zur Definition der Einsetzungsgleichheit?
Am Beispiel von A. hast du in Aufgabe 3 gesehen, dass das Einsetzen „aller möglicher Werte“ in einen Term, ein schwieriges Unterfangen sein kann. Erkläre, warum das bei Schalttermen viel einfacher ist.
Formuliere präzise: Wann sollten wir zwei Schaltterme äquivalent nennen?
Formuliere präzise: Wann sollten wir zwei Schaltnetze äquivalent nennen?