Das einfache Perzeptron als künstliches Neuron

Ein erstes einfaches Neuronenmodell

Das hier vorgestellte mathematische Modell eines Neurons, das so genannte einfache Perzeptron aus dem Jahr 1957, vereinfacht viele Gegebenenheiten von biologischen Neuronen in extremer Weise:

• Zunächst einmal spielt die Zeit bzw. Zeitverläufe beim einfachen Perzeptron überhaupt keine Rolle. Es werden also keine Impulse (zeitliche Schwankungen) am Axon modelliert; stattdessen wird die Stärke des Ausgangssignals durch eine einfache Zahl dargestellt. Beim Perzeptron-Modell aus dem Jahr 1957 ist dies -- nochmal stark vereinfacht -- entweder die Zahl 0 oder die Zahl 1. (Die gedankliche Nähe zu logischen Schaltungen ist unübersehbar.)
• Der Begriff der "Dendriten" fällt bei dem Modell weg; nur die mit den Dendriten verknüpften Synapsen finden sich in dem Modell wieder. Die chemischen Neurotransmitter werden nicht im einzelnen modelliert, lediglich der erregende oder hemmende Charakter einer Synapse wird in form einer reellen Zahl (Kommazahl) dargestellt. Positive Werte entsprechen erregenden Synapsen, negative Werte hemmenden Synapsen. Statt von Synapsen spricht man von synaptischen Gewichten (engl. weight, Formelzeichen $w$). Die einzelnen Gewichte werden mit dem Index $i$ durchnummeriert: $w_i$ beschreibt das synaptische Gewicht der $i$-ten Synapse.
• Die an den Synapsen eines Neurons ankommenden Signale können ebenfalls nur die Werte 1 oder 0 annehmen, man bezeichnet sie mit dem Formelzeichen $x$. Das an der $i$-ten Synapse ankommende Signal wird mit $x_i$ bezeichnet, man spricht in der Informatik auch (etwas unbiologisch) von den "Eingängen" des Neurons.
• Das Erregungspotential (das im Modell normalerweise nicht mehr so heißt, sondern häufig "Aktivierung"), wird in der Darstellung hier entsprechend mit dem Formelzeichen $a$ bezeichnet. Es berechnet sich dadurch, dass an den Synapsen die Eingangssignale mit den synaptischen Gewichten multipliziert werden. Die einzelnen Ergebnisse werden dann zu $a$ aufsummiert. Bei 5 Synapsen wäre das also \begin{equation} a = w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + ... + w_5 \cdot x_5 \end{equation} oder allgemein bei $n$ Synapsen \begin{equation} a = w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + ... + w_n \cdot x_n \end{equation} Da das umständlich zu schreiben ist, schreiben Mathematiker und Informatiker dieselbe Gleichung kurz so: \begin{equation} a = \sum_{i=1}^n w_i \cdot x_i ~~~\textrm{(gelesen: Summe über alle i von 1 bis n über $w_i$ mal $x_i$.)} \end{equation}
  Der Wert von $a$ ist selbst also auch wieder eine reelle Zahl.
• Da das Ausgangssignal aber nur die Werte 1 oder 0 annehmen darf, muss diese Zahl übersetzt werden. Das geschieht mittels einer sehr einfachen Vorschrift: Die Ausgabe ist 1, wenn der Wert von $a$ einen bestimmte Schwelle $s$ überschreitet. \begin{eqnarray} y = f(a)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{wenn }a > s \\ 0 & \textrm{sonst} \end{array}\right. \nonumber \end{eqnarray} Die Funktion $f$ wird als Ausgabefunktion bezeichnet.

Wenn die Werte $x_i$ für alle $i$ gegeben sind, hängt das Ausgangssignal $y$ nur von den Gewichten $w_i$ und dem Schwellenwert $s$ ab.

Aufgabe 1: Berechnen eines Ausgangswertes

Berechne per Hand die Ausgangswerte eines Neurons mit zwei Eingängen für alle Kombinationen $(x_1=0; x_2=0); (x_1=0; x_2=1); (x_1=1; x_2=0); (x_1=1; x_2=1)$ bei bei folgenden Werten. \begin{eqnarray} w_1 & = & 2.5 \\ w_2 & = & 3.7 \\ s & = & 1.2 \end{eqnarray} Falls Du im Unterricht schon logische Schaltungen kennen gelernt hast: Bestimme, welcher logischen Grundschaltung diese Zuordnung der Eingänge zum Ausgangswert entspricht.

Aufgabe 2: Festlegen von Gewichten und Schwellenwert per Hand

Betrachte ein Neuron mit zwei Eingängen $x_1$ und $x_2$, die beide die Werte 0 oder 1 annehmen können. Lege die Werte für $w_1, w_2$ und $s$ so fest, dass der Wert von $y$ dann und nur dann 1 ist, wenn beide Eingänge den Wert $1$ haben (entsprechend einer UND-Schaltung).

Aufgabe 3: Gewichte und Schwellenwert für einen etwas komplizierteren Zusammenhang

Betrachte ein Neuron mit zwei Eingängen $x_1$ und $x_2$, die beide die Werte 0 oder 1 annehmen können. Lege die Werte für $w_1, w_2$ und $s$ so fest, dass der Wert von $y$ dann und nur dann 1 ist, wenn $x_1$ den Wert $1$ hat und $x_2$ den Wert 0.

Aufgabe 4: Ein extrem einfacher Zusammenhang

Betrachte ein Neuron mit zwei Eingängen $x_1$ und $x_2$, die beide die Werte 0 oder 1 annehmen können. Lege die Werte für $w_1, w_2$ und $s$ so fest, dass der Wert von $y$ bei jeder der vier möglichen Eingangskombinationen den Wert 1 hat.