Übungen
Aufgabe 1: Rekursive Zinseszins-Rechnung
Ein Kapital von 1000 Euro wird jährlich mit 5% verzinst. Die Funktion kapital(n)
beschreibe den
Kapitalwert nach n Jahren.
Die folgenden Problemreduktionsschritte sollen dem Algorithmus / Programm zu Grunde liegen.
kapital(0) -> 1000 kapital(5) -> kapital(4) + 0.05 * kapital(4)
Verallgemeinere diese Reduktionsschritte zu einer rekursiven Funktionsdefinition und teste es mit mehreren Funktionsaufrufen.
Aufgabe 2: Rekursive Berechnung von Medikamentenmengen
Ein Patient nimmt jeden Morgen 5 mg eines Medikaments ein.
Im Laufe des Tages werden von dem gesamten, im Körper befindlichen Medikament 40% abgebaut.
Die Funktion medikamentenmenge(n)
beschreibe die Menge des Medikaments (in mg),
die sich am n-ten Tag morgens nach Einnahme des Medikaments im Körper befindet.
Ergänze die folgenden Problemreduktionsschritte und verallgemeinere sie zu einer rekursiven Funktionsdefinition.
medikamentenmenge(0) -> ... medikamentenmenge(5) -> ...
Aufgabe 3: Die seltsame Quadratpflanze
Betrachte die in der Abbildung gezeigte Quadratpflanze.
Im Jahr 0 besteht die Quadratpflanze nur aus dem großen Basisquadrat.
Jedes Jahr wachsen dann neue kleinere Quadrate an drei Quadratseiten.
Die Grundseite des Basisquadrates sei m Einheiten (z. B. cm) lang.
Die Funktion umfang(n, m)
beschreibe den Umfang der gesamten Quadratpflanze nach n Jahren
bei einer Seitenlänge m.
Die Funktion flaecheninhalt(n, m)
beschreibe den Flächeninhalt der gesamten Quadratpflanze nach n Jahren
bei einer Seitenlänge m.
Entwickle rekursive Funktionsdefinitionen für beide Funktionen.
Welche Beobachtung kann man für die Entwicklung des Umfangs und der Fläche für große n machen?